a1 ^2n + a2 ^2n+……+a2n ^ 2n=2n a1 a2 a3……a2n 求证a1=a2=……=a2n

a1 ^2n + a2 ^2n+……+a2n ^ 2n=2n a1 a2 a3……a2n 求证a1=a2=……=a2n（n为正整数）

最好用数学归纳法。 n=1显然成立，然后…… 严禁用均值不等式！！
另外这个命题如果是错误的话请大家帮着算一下n=3和4的情况。我感觉是对的，谢谢！
hwttysx同志，拜托您看题好吗？我就是不会在这里打出 ∑的上下标，所以用……代替了。前面的是a1^2n至a2n^2n的和好不好，那个题本身是证明题，哪那么容易错啊~~，1，2，3，4都是对的
hwttysx同志，不好意思，您确实看错题了，左边的求和是从a1到a 2n。所以n=1 左边是两项，n=2左边就是4项。右边也是
再补充一次，明显的，n=2左边是4项嘛，a1，a2，a3，a4~~~

证明:
1:n=1时,左边=a1^2+a2^2
右边=2a1a2
a1^2+a2^2=2a1a2
(a1-a2)^2=0
a1=a2

2:n=2时
左边=a1^4+a2^4+a3^4+a4^4=2a1^4+a3^4+a4^4
右边=4a1a2a3a4=4a1^2a3a4
设a3≠a1,a4≠a1,那a3和a4可以用a1表达出来:
a3=ma1
a4=na1
左边=a1^4(2+m^4+n4)
右边=4a1^4mn
左边=右边
2+m^4+n4=4mn
只有m=1,n=1等式才成立
所以a1=a2=a3=a4

3:假设n=k时等式成立,则a1=a2=......=a2k
令左边=a1 ^2k + a2 ^2k+……+a(2k) ^ (2k)=c
右边=2ka1 a2 a3……a2k=2ka1^(2k)=d
左边=右边

当n=k+1时
左边=a1 ^2k + a2 ^2k+……+a2(k+1) ^ 2(k+1)
右边=2(k+1) a1 a2 a3……a2(k+1)
=2(k+1)a1^(2k)a(2k+1)a(2k+2)
左边-c
=[a(2k+1)]^(2k+2)+[a(2k+2)]^(2k+2)
右边-d
=2(k+1)a1^(2k)a(2k+1)a(2k+2)-2ka1^(2k)
=2a1^(2k)[(k+1)a(2k+1)a(2k+2)-k]

设a(2k+1)≠a1,a(2k+2)≠a1,那a(2k+1)和a(2k+2)可以用a1表达出来:
a(2k+1)=pa1
a(2k+2)=qa1

左边-c=(pa1)^(2k+2)+(qa1)^(2k+2)
=a1^(2k+2)[p^(2k+2)+q^(2k+2)]

右边-d=2a1^(2k)[pq(k+1)a1*a1-k]
=2a1^(2k+2)[pq(k+1)-k]